Геометрія

Геометрія

Кути і прямі на площині

1. Паралельні прямі, прямі, що перетинаються та кути утворені їх перетином

     Дві прямі на площині можуть мати спільну точку або не мати спільних точок. Дві прямі, які мають спільну точку, називаються прямими, що перетинаються.

    Означення. Дві прямі, які лежать в одній площині і не перетинаються, називаються паралельними.

     Паралельність прямих позначається знаком . Паралельність прямих а і b записується так:  .

     Аксіома паралельних прямих

     Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести в площині єдину пряму, паралельну даній прямій.

     Нехай прямі а і b перетинаються третьою прямою с, яка називається січною. Тоді утворюється вісім кутів, які мають спеціальні назви: кути 3, 4, 5, 6 – внутрішні, кути 1, 2, 7, 8 – зовнішні.

     Пари кутів 1 і 5, 2 і 6, 3 і 7, 4 і 8 називаються відповідними, пари кутів 3 і 6, 4 і 5 – внутрішніми різносторонніми, пари кутів 1 і 8, 2 і 7 – зовнішніми різносторонніми. Пари кутів 3 і 5, 4 і 6 називаються, 1 і 7, 2 і 8 – зовнішніми односторонніми.

     Якщо дві паралельні прямі а і b перетнуті прямою с, то:

1. внутрішні різносторонні кути ріні, тобто ;
2. сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто , ;
3. відповідні кути рівні, тобто ;
4. зовнішні різносторонні кути рівні, тобто ;
5. сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто .

2. Ознаки паралельності прямих

     Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою.

     Якщо  , то .

     Якщо дві прямі а і b перетинаються третьою прямою с, то прямі а і b паралельні, якщо:

1.  внутрішні різносторонні кути ріні, тобто ;
2. сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто ;
3. відповідні кути рівні, тобто ;
4. зовнішні різносторонні кути рівні, тобто ;
5. сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, тобто .

3. Перпендикулярні прямі

    Означення. Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.

    Наприклад: перпендикулярні прямі а і b (позначення , оскільки .

    Теорема. Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну їй пряму, причому тільки одну.

    Теорема. Через дану точку поза прямою можна провести перпендикулярну даній пряму, причому тільки одну.

4. Теореми про паралельність і перпендикулярних прямих

    Теорема. Дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, паралельні між собою.

     Оскільки , то .

    Теорема. Якщо одна із двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої, то і друга пряма перпендикулярна до третьої.

     Оскільки , то .

5. Відстань від точки до прямої

     Відстанню від точки до прямої називається довжина перпендикуляра, опущеного із даної точки на дану пряму.

    Наприклад: відстанню від точки А до прямої а є довжина перпендикуляра АО.

     Відстанню між паралельними прямими називається відстань від будь-якої точки однієї прямої до другої прямої.

    Наприклад: відстанню між паралельними прямими а і b є довжина відрізка АО ().

     Відстані від усіх точок прямої до паралельної прямої – рівні.

ТРИКУТНИКИ

1. Трикутник

     Трикутник – це геометрична фігура, що складається із трьох точок, які не лежать на одній прямій, і відрізків, які з’єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки – його сторонами.

    Наприклад: трикутник із вершинами А, В, С і сторонами АВ, ВС, АС. Цей трикутник позначається так: .

     Кути САВ, АВС, АСВ називаються кутами трикутника. Найчастіше їх позначають однією буквою: . Сторону ВС і кут А трикутника АВС називають протилежними. Протилежними є також сторона АВ і кут С, сторона АС і кут В. Кути А і С, В і С, А і В називаються прилеглими до сторін АС, ВС, АВ.

     Периметром трикутника називають суму довжин трьох сторін трикутника. Якщо периметр трикутника позначити буквою Р, а довжини сторін ВС, АС і АВ – відповідно, через а, b, с, то

.

    Теорема. У будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін (нерівність трикутника), тобто .

2. Види трикутників

     Залежно від довжини сторін розрізняють різносторонні, рівнобедрені і рівносторонні (або правильні) трикутники.

     Трикутник, який має три різні за довжиною сторони, називають різностороннім.

     Трикутник, який має дві рівні сторони, називається рівнобедреним. Рівні сторони називаються бічними, а третя сторона – основою трикутника.

    Наприклад:  – рівнобедрений, у нього АВ=ВС, тобто АВ, ВС – бічні сторони, АC – основа.

     Трикутник, у якого всі сторони рівні, називають рівностороннім, або правильним. У рівностороннього трикутника всі кути рівні, величина кожного з них дорівнює 60°.

     Залежно від величини кутів розрізняють гострокутні, прямокутні й тупокутні трикутники.

     Гострокутним називається трикутник, у якого всі кути гострі.

     Прямокутним називається трикутник, у якого є прямий кут. Сторону прямокутного трикутника, протилежну прямому куту, називають гіпотенузою, а дві інші сторони – катетами.

    Наприклад: сторона АС – гіпотенуза, сторони АВ і ВС – катети.

     Тупокутним називається трикутник, у якого є тупий кут.

3. Висоти, бісектриси та медіани трикутника

     Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений із його вершини до прямої, яка має протилежну сторону.

    Наприклад: відрізок BD – висота відповідно гострокутного, тупокутного і прямокутного трикутників.

	Мал.1

Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці.

     Медіаною трикутника називають відрізок, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

    Наприклад: ВМ – медіана трикутника АВС.

     Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка називається центром мас трикутника.

     Бісектрисою трикутника називається відрізок, який з’єднує вершину кута і точку протилежної сторони й ділить кут навпіл.

    Наприклад: BL – бісектриса трикутника АВС.

     Усі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, вписаного в трикутник.

4. Середня лінія трикутника

     Середньою лінією трикутника називають відрізок, який з’єднує середини двох його сторін.

    Наприклад: MN – середня лінія.

     Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині.

    Наприклад: .

5. Поняття про рівність фігур

     Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстані між точками, тобто будь-які дві точки А і В однієї фігури F переводяться в точки А₁ і В₁ другої фігури F₁ так, що АВ=А₁В₁.

     Дві фігури F і F₁ називаються рівними, якщо вони рухом перетворюються в одну.

     Запис F=F₁ означає, що фігура F дорівнює фігурі F₁.

     Перетворення симетрії відносно точки і відносно прямої та поворот площини навколо точки є рухами.

6. Ознаки рівності трикутників

    Наприклад: трикутники АВС і А₁В₁С₁ – рівні.

     Рівність трикутників позначається так: .

     Якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони, кути, медіани, бісектриси, висоти тощо) одного з них відповідно дорівнюють елементам другого.

    Наприклад: , АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁, АС=А₁С₁.

     На малюнках рівні відрізки позначаються рівною кількістю рисок, а рівні кути однаковою кількістю дужок. У рівних трикутників проти рівних сторін лежать рівні кути, а проти рівних кутів – рівні сторони.

     Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними)

     Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники є рівними.

     Друга ознака рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими кутами)

     Якщо сторона і два прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники  - рівні.

     Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами)

     Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники є рівними.

     Два прямокутні трикутники рівні, якщо виконується одна з умов:

1. два катети одного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника;
2. катет і гострий кут одного трикутника відповідно дорівнюють катету і гострому куту другого трикутника;
3. гіпотенуза і гострий кут одного трикутника дорівнюють гіпотенузі і гострому куту другого трикутника;
4. гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету другого трикутника.

7. Властивості та ознаки рівнобедреного трикутника

Властивості рівнобедреного трикутника

    Рівнобедрений трикутник має такі властивості.

1. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні.

    Наприклад: АВ=ВС, тобто  – рівнобедрений, отже, .

1. У рівнобедреного трикутника медіана, проведена до основи, є і бісектрисою, і висотою.
2. У рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є і бісектрисою, і медіаною.
3. У рівнобедреного трикутника бісектриса, проведена до основи, є і медіаною, і висотою.

    Наприклад: у  (АВ=ВС) відрізок BD є і медіаною (AD=DC), і висотою (), і бісектрисою ().

КОЛО І КРУГ. ДОТИЧНА ДО КОЛА

1. Коло і круг

     Геометричним місцем точок називають фігуру, що складається з усіх точок площини, які мають певну властивість.

     Колом називають геометричне місце точок площини, рівновіддалених від даної точки, яка називається центром кола.

     Відстань від точки кола до його центра називається радіусом.

     Радіусом називають також будь-який відрізок, що з’єднує точку кола з його центром.

    Наприклад: ОА, ОВ, ОС – радіуси кола.

     Відрізок, який з’єднує дві точки кола, називається хордою.

     Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром кола.

    Наприклад: DF, BC – хорди, BC – діаметр.

     Рівні хорди кола віддалені від центра. Дві хорди кола, які рівновіддалені від центра, мають однакову довжину.

    Приклад. Якщо АВ=CD, то ON=OM, і навпаки, якщо OM=ON, то АВ=CD.

     Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, проходить через її середину.

    Приклад. Якщо АМ=МВ, то , і навпаки, якщо , то АМ=МВ.

     Круг – це геометричне місце точок площини, відстань яких від даної точки, що називається центром, не перевищує даної відстані, яка називається радіусом (інакше кажучи, кругом називається скінченна частина площини, обмежена колом).

    Приклад: О – центр круга, ОА – радіус круга.

2. Дотична до кола та її властивості

     Пряму, що проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, проведеного до даної точки, називають дотичною до кола. При цьому дану точку кола називають точкою дотику.

     Дотична до кола має з колом тільки одну спільну точку – точку дотику.

    Приклад: пряма АВ – дотична до кола, бо . М – точка дотику.

     Дотичними колами називаються два кола, які мають лише одну спільну точку (у цій точці вони мають спільну дотичну). Дотик кіл називається внутрішнім дотиком, якщо центри кіл лежать по один бік від їх спільної дотичної.

     Дотик кіл називається зовнішнім дотиком, якщо центри кіл лежать по різні боки від їх спільної дотичної.

ПАРАЛЕЛОГРАМИ

1. Паралелограм та його властивості

     Паралелограмом називають чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

    Наприклад: чотирикутник ABCD – паралелограм, оскільки .

Властивості паралелограма

У паралелограма:

1. Протилежні сторони рівні. AB=CD, AD=BC.
2. Протилежні кути рівні. .
3. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл. АО=ОС, ВО=ОD.
4. Кожна діагональ розбиває паралелограм на два рівних трикутники. .
5. Сума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°. .
6. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін:  або .

     Висотою паралелограма називають перпендикуляр, опущений із будь-якої точки однієї сторони на пряму, що містить протилежну сторону (або відстань між протилежними сторонами).

    Наприклад: MN і ВК – висоти.

2. Ознаки паралелограма

     1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то такий чотирикутник паралелограм.

    Наприклад: якщо АО=ОС, ВО=ОD, то ABCD – паралелограм.

     2. Якщо в чотирикутника дві сторони паралельні і рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.

    Наприклад: якщо , AB=CD (або , AD=BC), то ABCD – паралелограм.

     3. Якщо в чотирикутника протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.

    Наприклад: AB=CD і AD=BC, то ABCD – паралелограм.

3. Прямокутник, ромб, квадрат та їх властивості

     Прямокутником називають паралелограм, у якого всі кути прямі.

    Наприклад: паралелограм ABCD – прямокутник, оскільки .

Ознаки прямокутника

1. Якщо у паралелограма один із кутів прямий, то цей паралелограм – прямокутник.
2. Якщо у паралелограма діагоналі рівні, то цей паралелограм – прямокутник.

Властивості прямокутника

     Прямокутник має всі властивості паралелограма, крім того, діагоналі прямокутника рівні.

     Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні.

    Наприклад: паралелограм ABCD – ромб, оскільки AB= BC=CD=AD.

Ознаки ромба

1. Якщо у паралелограма діагоналі перпендикулярні, то такий паралелограм – ромб.
2. Якщо у чотирикутника сторони рівні, то такий чотирикутник – ромб.

Властивості ромба

     Ромб має всі властивості паралелограма, крім того:

1. Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні. Наприклад: у ромба ABCD .
2. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. Наприклад:  і  .

     Квадратом називають прямокутник, у якого всі сторони рівні.

     Квадратом називають ромб, у якого всі кути прямі.

Властивості квадрата

1. У квадрата всі кути прямі і всі сторони рівні.
2. Діагоналі квадрата рівні і перетинаються під прямим кутом.
3. Діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів. Кожна діагональ квадрата утворює зі стороною кут 45°.

⇐ ⇒