Алгебра

ЛІНІЙНА ФУНКЦІЯ

1. Лінійна функція

     Лінійною називають функцію виду  у = kx+b , де k і b – дійсні числа.

     Основні властивості лінійних функцій подано в таблиці.

Системи лінійних рівнянь з двома змінними

     Системи рівнянь розв’язують кількома способами: графічним, підстановки, додавання. Розглянемо приклади.

    

  

     Щоб розв’язати систему рівнянь графічним способом, треба:

1. виконати рівносильні перетворення системи так, щоб було зручно побудувати графіки рівнянь системи;

2. побудувати графіки;

3. знайти координати точок (точки) перетину побудованих ліній. Ці координати і є розв’язками (розв’язком) системи рівнянь.

    Зауваження. Графічний спосіб розв’язування систем рівнянь не є універсальним, оскільки не завжди розв’язком системи є пара цілих чисел. Іноді важко точно встановити координати точки перетину побудованих графіків функцій, можливо лише вказати наближенні значення. Тому, як правило, використовують алгебрагічні способи розв’язування систем рівнянь: спосіб підстановки, додавання.

  

     Способом підстановки систему двох рівнянь із двома змінними розв’язують за таким порядком:

1. з одного рівняння системи виражаємо одну зі змінних через другу змінну і відомі величини;

2. знайдене значення підставляємо в друге рівняння системи, одержуємо рівняння відносно другої змінної;

3. розв’язуємо одержане рівняння і знаходимо значення цієї змінної;

4. підставляючи знайдене значення у вираз для першої змінної, одержуємо відповідне її значення;

5. записуємо відповідь.

    Зауваження. Спосіб підстановки, як правило, використовують, якщо коефіцієнт при одній зі змінних в одному з рівнянь системи дорівнює 1.

     Розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними способом алгебрагічного додавання виконують за таким порядком:

1) урівнюємо коефіцієнти при одній зі змінних шляхом по членного множення обох рівнянь на множники, підібрані відповідним чином;

2) додаючи (або віднімаючи) почленно рівняння системи, виключаємо одну зі змінних;

3) розв’язуємо одержане рівняння з однією змінною;

4) значення другої змінної можна знайти таким же способом (або підстановкою знайденого значення змінної в будь-яке із заданих рівнянь системи);

5) записуємо відповідь.

    Зауваження. Спосіб додавання, як правило, використовують, якщо коефіцієнти при одній зі змінних у рівнянні системи – протилежні числа.

Тригонометричні рівняння

1. Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь

Рівняння 

Окремі випадки

Окремі випадки

Окремі випадки

Загальні методи розв'язування рівнянь

Рівносильні рівняння. Системи і сукупності рівнянь з однією змінною

     1. Рівносильні рівняння

Два рівняння називаються рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені або не мають їх зовсім. Знак рівносильності рівнянь – .

     Наприклад:

     1)  , оскільки вони мають корінь х=2;

     2)  .

2. Системи і сукупності рівнянь з однією змінною

 Система рівнянь – це рівняння, відносно яких ставиться задача знайти їхні спільні корені. Знак системи – {.

     Наприклад:

     Сукупність рівнянь – це рівняння, відносно яких ставиться задача знайти всі їхні корені. Знак сукупності – [.

     Наприклад:

 

Методи розв’язування рівнянь

Розкладання на множники

     Добуток кількох множників дорівнює нулю, якщо хоча б один із них дорівнює нулю, а останні при цьому існують.

     Наприклад:

Заміна змінних

     Наприклад: 

Порівняння обох частин рівняння за величиною

     Наприклад: .

     Оскільки , то 

Використання однорідності

     Наприклад: .

     Нехай , тоді

  або .

     Тоді

Використання монотонності

     Наприклад:  .

     Функція   спадна,  . Отже, х=2 – єдиний корінь.

Графічний метод

     Щоб графічно розв’язати рівняння f(x)=g(x), треба побудувати графіки функцій y=f(x) і y=g(x) і знайти абсциси точок їх перетину.

     Наприклад:  .

Відповідь: х=0.

Методи розв’язання нерівностей

Метод інтервалів

     Щоб розв’язати нерівність , де  , де – різні числа, треба:

1. зобразити  на координатній прямій (ці числа, розташовані у порядку зростання, розділяють пряму на  проміжків, на яких функція f(x) зберігає свій знак);
2. визначити знаки функції f(x) на кожному проміжку;
3. записати відповідь.

     Наприклад:  .

.

Відповідь: .

Узагальнений метод інтервалів

     Щоб розв’язати нерівність , треба:

1. знайти область визначення функції у=f(x);
2. знайти нулі функції (f(x)=0);
3. на координатній прямій позначити нулі функції і визначити знак функції на кожному проміжку, на які розбивають нулі функції область визначення;
4. записати відповідь (вибрати ті інтервали, де функція має потрібний знак).

Графічний метод

     Щоб розв’язати нерівність f(x)>g(x), треба побудувати графіки функцій y=f(x), y=g(x) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції y=f(x)розташований вище графіка функції y=g(x).

     Щоб розв’язати нерівність f(x)<g(x), треба побудувати графіки функцій y=f(x), y=g(x) і вибрати ті проміжки осі абсцис, на яких графік функції y=f(x)розташований нижче графіка функції y=g(x).

     Наприклад: .

Відповідь: .

⇐ ⇒